Betinget sviktsannsynlighet - AssetLife verktøykasse

Dersom man har en opprinnelig sannsynlighetsfordeling for en komponent fra idriftsettelsesåret og det har gått x år uten at svikt har inntruffet, vil sviktsannsynligheten nå se annerledes ut. I dette kapittelet ser vi nærmere på dette. MERK! : Betinget sannsynlighet som demonstrert her antar at ingen kunnskap om tilstand eksisterer. Den eneste informasjonen man har er at komponenten ikke har sviktet etter x år. Dette kan være relevant for komponenter hvor degradering ikke viser symptomer eller for komponenter hvor det ikke er lett å komme til for inspeksjon.

Formelen for betinget sannsynlighet er gitt av den aktuelle fordelinger ved (t + x) delt på den korresponderende overlevelsesfunksjonen ved x:

f_{\rm{betinget}}(t)=\frac{f(t+x)}{R(x)}

(1)

Sviktintensitet er gitt av :

z(t) = \frac{f(t)}{R(t)}

(2)

# importer nødvendige python-moduler
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import weibull_min
from scipy.stats import gamma
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams.update({
    "figure.facecolor": "none",
    "axes.facecolor": "none",
    "savefig.facecolor": "none",})

Betinget sviktsannsynlighet - weibullfordeling¶

Betinget sannsynlighet for en weibullfordeling er vist under. Her er komponenten 20 år og lever enda. Den oppdaterte/betingede sviktsannsynligheten har nødvendigvis høyere sannsynlighet for svikt i resten av levetiden.

# Definer weibullfordeling
k = 4.5321
lam = 32.8605

# Regn ut betinget sannsynlighet ved år x og plot

t = np.arange(0,51,1)                 # vektor med år fra idriftsettelse
f = weibull_min.pdf(t,k, scale = lam) # sannsynlighetsfordeling
R = weibull_min.sf(t,k, scale = lam)  # overlevelsesfunksjon, R

t0 = 20                                          # antall år etter idriftsettelse 
f_betinget = np.zeros(len(t))
R_0 = weibull_min.sf(t0,k, scale = lam)          # overlevelsesfunksjon

for i in range(0,len(t)-t0):
    f_tx = weibull_min.pdf(i+t0,k, scale = lam)  # sannsynlighetsfordleling
    f_betinget[t0 + i] = f_tx/R_0   

# plot resultat 

f_b = np.zeros_like(t, dtype=float)
R0 = weibull_min.sf(t0, k, scale=lam)

for i in range(len(t) - t0):
    f_tx  = weibull_min.pdf(i + t0, k, scale=lam)
    f_b[t0 + i] = f_tx / R0

plt.figure(figsize=(5,4))
plt.plot(t,f/R,'r.-', label = 'z(t)')
plt.plot(t, f,  label='f(t) (opprinnelig)')
plt.plot(t, f_b, '--',label=f'f(t | x > {t0}) (betinget)')
plt.xlabel("Tid (år)",fontsize = 12)
plt.ylabel("f(t)",fontsize = 12)
plt.ylim([0,0.15])
plt.legend(fontsize = 12)
plt.show()

Betinget sviktsannsynlighet - gammafordeling¶

Betinget sannsynlighet for en gammafordeling er vist under. Her er komponenten 30 år og lever enda.

# Definer gammafordeling 
alpha = 13.11
beta = 2.29

tg = np.arange(0,51,1)                    # vektor med år fra idriftsettelse
fg = gamma.pdf(tg,a = alpha, scale = beta) # sannsynlighetsfordeling
Rg = gamma.sf(tg,a = alpha, scale = beta)  # overlevelsesfunksjon, R

# Regn ut betinget sannsynlighet ved år x og plot
t0g = 30                                               # antall år etter idriftsettelse 
f_betingetg = np.zeros(len(tg))
R_0g = gamma.sf(t0g,a = alpha, scale = beta)            # overlevelsesfunksjon

for i in range(0,len(tg)-t0g):
    f_txg =  gamma.pdf(i + t0g,a = alpha, scale = beta)  # sannsynlighetsfordleling
    f_betingetg[t0g + i] = f_txg/R_0g

# plot resultat
f_bg = np.zeros_like(tg, dtype=float)
R0g = gamma.sf(t0g, a = alpha, scale=beta)

for i in range(len(tg) - t0g):
    f_txg  = gamma.pdf(i + t0g, alpha, scale=beta)
    f_bg[t0g + i] = f_txg / R0g

plt.figure(figsize=(5,4))
plt.plot(tg,fg/Rg,'r.-', label = 'z(t)')
plt.plot(tg, fg,  label='f(t) (opprinnelig)')
plt.plot(tg, f_bg, '--',label=f'f(t | x > {t0g}) (betinget)')
plt.xlabel("Tid (år)",fontsize = 12)
plt.ylabel("f(t)",fontsize = 12)
plt.ylim([0,0.15])
plt.legend(fontsize = 12)
plt.show()